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Un peu de calcul

        Mathématiques CRPE, La Rochelle, 2020

         gilles.hunault "at" univ-angers.fr

1. Le vocabulaire du calcul mathématique

Avec le raisonnement, le calcul est un des piliers des mathématiques.

Le calcul arithmétique de base avec des "vrais" nombres entiers comme 2, 9... se double du calcul formel avec des x et des y. On nomme algèbre la théorie mathématique de ces calculs, souvent définis par des équations ou des inéquations avec un langage (une écriture) particulier.

Une équation se caractérise par le signe = et par la présence d'au moins une inconnue, c'est-à-dire par la présence d'une lettre dont on cherche la valeur. Ainsi $3+\displaystyle\frac{2}{5}$ et $x + 1 $ sont "juste" des calculs alors que $3x-6=0$  est une équation.

Le calcul mathématique de base utilise seulement quatre opérations (addition, soustraction, multiplication, division), des règles de calcul et des règles de simplification. Il faut bien sûr maitriser ces opérations et en particulier les tables de multiplication pour être à l'aise avec les calculs, quitte à s'entrainer au calcul mental.

La page  révisions  peut vous aider à réviser ces règles.

Ce qui est bien avec les calculs mathématiques : il est en général possible de vérifier les résultats d'un calcul avec une calculatrice (ou un simple téléphone). C'est pourquoi vous verrez presque systématiquement la phrase « Vérifions : » suivie de calculs et, en fin de calculs, la phrase « C'est bon ! ». De plus avec un tableur, on peut facilement (= sans trop d'efforts) produire plein d'exemples et de contre-exemples...

Très souvent, un calcul ou une équation provient d'un problème énoncé comme un fait réel. Par exemple : « Marie et Pierre ont 12 billes ensemble. Marie a deux fois plus de billes que Pierre...  ».

Pour maitriser le vocabulaire des mathématiques, il faut distinguer ce qui est exposé aux élèves et ce qui fait partie du discours liés aux mathématiques. Il ne faut surtout pas se laisser impressionner par la technicité des termes employés, car chaque métalangage a son vocabulaire. Ainsi la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition des mathématiques n'est pas plus incompréhensible que la double articulation des unités significatives et des unités distinctives de la linguistique.

1.1 Vocabulaire usuel

Les exercices classiques emploient des termes simples comme calculer, trouver ou des questions qui commencent par combien. En voici trois exemples :

  1. Paul a trois bonbons. Marie a deux bonbons de plus que Paul. Trouver le nombre de bonbons que possède Marie.

  2. Jeanne a 5 gateaux. Paul a 3 gateaux de moins que Jeanne. Calculer le nombre de gateaux de Paul.

  3. Daniel achète 3 boites de 4 petites voitures. Combien a-t-il de voitures en tout ?

Par contre le verbe résoudre n'est pas employé parce que sans doute trop abstrait.

Utiliser la négation ou des constructions avec ni..., ni... fait souvent référence à une soustraction implicite. Ainsi l'énoncé dans un bouquet de 30 fleurs, il y a 5 roses et 3 tulipes ; combien y a-t-il de fleurs qui ne sont ni des roses ni des tulipes ? met en jeu la soustraction $30 - 5 - 3 $  .

Pour une fraction, il faut aussi ajouter les termes numérateur ("ce qui est en haut"), dénominateur ("ce qui est en bas") et simplifier, tout en sachant que le nommage des fractions est très perturbant pour les enfants. Ainsi, la moitié de et le tiers de ne font pas explicitement référence à des fractions lorsqu'on ne maitrise pas ce vocabulaire.

De même, un enfant qui commence à savoir lire l'heure saura dire 8 heures 15 mais pas 8 heures et quart. Le langage et sa maitrise sont donc essentiels dans les activités calculatoires.

1.2 Métalangage

Les calculs via les opérations possèdent certaines propriétés. Ainsi le fait que 3+2 soit égal à 2+3 (même sans connaitre le résultat du calcul) se nomme commutativité. Il est d'usage de maitriser ce vocabulaire qui se limite, pour le CRPE a une trentaine de termes, tels que associativité, divisibilité, distributivité...

Les enfants disent qu'ils savent compter lorsqu'ils arrivent à mémoriser la suite des premiers entiers. Il ne s'agit pas de calcul mais d'une simple énumération. De même, trouver ce qui suit $1,3,5,7$  ou $2,4,8,16$  peut se faire sans savoir qu'il s'agit de suites arithmétiques ou géométriques. Le métalangage permet par contre de "conceptualiser", de donner des énoncés généraux formels et en particulier de distinguer ce qui est ordinal de ce qui est cardinal.

Par exemple la commutatitivé de l'addition, qui s'écrit $x+y=y+x$  signifie que l'on peut permuter $x$  et $y$  dans une somme. Il est sans doute plus simple de calculer $6+9+4$  sous la forme $6+4+9$  parce que $6+4=10$  pour trouver au final $19$  plutôt que de passer par $6+9$  .

1.3 Difficultés du langage usuel

Il n'y a pas forcément des pièges dans le langage usuel, mais la précision des mathématiques oblige à une grande attention dans la lecture des énoncés. Ainsi Marie a deux bonbons de plus que Paul  est un énoncé très proche linguistiquement de Marie a deux fois plus de bonbons que Paul   alors que les équations correspondant sont différentes ($marie=2\times paul$  et $marie=2+paul$)  .

Des adjectifs comme pair et impair ne signifient rien pour un enfant français, pas plus que even et odd pour un enfant anglais. Apprendre à dire divisible par 2 et écrire $2\times n$  et $(2\times n)+1$  comme dans $6=2\times 3$  et $9=(2\times 4)+1$  est plus explicite dès que l'on maitrise les formules.

2. Un peu de pratique du calcul mathématique

2.1 Calculs avec des parenthèses, avec des variables littérales

Les parenthèses définissent l'ordre de calcul : il faut commencer par calculer ce qui est à l'intérieur des parenthèses.

Par exemple : $ 5 + 3\times 2 + 8 = 5 + (3\times 2) + 8 = 5 + 6 + 8 = 19 $.

Si un calcul utilise des lettres, on peut soit remplacer tout de suite ces lettres par leur valeur soit d'abord simplifier. Ainsi il est équivalent, pour $a=10$, de calculer $ 2\times(a+3) + (a-1)$  par $2\times (10+3) + (10-1)$   ou de commencer par remplacer le calcul par $3\times a + 5$ avant de calculer $3\times 10 + 5$  . Dans les deux cas, on trouve 35.

 Vérifions : $2\times (10+3) + (10-1)=2\times 13 + 9=26+9=35$  .

De même, $3\times 10 + 5=30+5=35$  .  C'est bon ! 

2.2 Calculs avec des fractions

Les fractions, une fois passé le cap de la réduction à un même dénominateur, ont un problème : celui de la simplification car tout le reste est simplement calculatoire. Il suffit donc de mémoriser les formules et de les appliquer pour avoir le bon résultat, mais peut-être pas simplifié.

Ainsi $\displaystyle\frac{2}{5} + \frac{3}{4} = \frac{2\times 4}{5\times4} + \frac{3\times 5}{4\times 5}=\frac{(2\times 4)+(3\times 5)}{4\times5}$  $ = \displaystyle\frac{\ \ 8 + 15}{4\times 5} =\frac{23}{20}$  et c'est fini,

alors que $\displaystyle\frac{3}{10} + \frac{5}{4} = \frac{~3\times 4}{10\times 4} + \frac{5\times 10}{4\times 10}=\frac{(3\times 4)+(5\times 10)}{4\times 10}$  $ = \displaystyle\frac{12 + 50}{4\times 10} =\frac{62}{40}$ 

demande à être simplifié en $\displaystyle\frac{31}{20}$  parce que$\displaystyle\frac{62}{40} = \frac{2\times 31}{2\times 20}$  .

2.3 Equations

Commençons par un exercice numérique : Pierre et Marie ont 12 billes en tout. Marie a 2 fois plus de billes que Pierre. Combien ont-ils chacun de billes ?

Il y a deux inconnues dans ce problème : le nombre $x$  de billes de Pierre et le nombre $y$  de billes de Marie. L'énoncé se traduit par deux équations : $(I)\ x+y=12$  et $(II)\ y=2x$  . Si on remplace $y$  par sa valeur en fonction de $x$  dans l'équation $(I)$  on obtient $x + 2x=12$  soit $3x=12$  d'où $x=12/3=4$  . Vérifions : $x=4$  et $y=2x$  donc $y=8$  d'où $x+y=12$  .  C'est bon ! 

Essayons maintenant de généraliser afin de trouver des "bonnes valeurs" pour $x$  et $y$  dans l'énoncé  : Pierre et Marie ont $n$ billes en tout. Marie a $m$ fois plus de billes que Pierre. Combien ont-ils chacun de billes ? L'énoncé se traduit par les deux équations : $(I)\ x+y=n$  et $(II)\ y=mx$  . Si on remplace $y$  par sa valeur en fonction de $x$  dans l'équation $(I)$  on obtient $x + mx=n$  soit $(m+1)x=n$  d'où $x=n/(m+1)$  . Il faut donc s'arranger pour que $n$  soit un multiple de $m+1$  comme dans le cas précédent où $n=12$  et $m=2$  . On peut par exemple prendre $n=15$  et $m=4$  ou $n=36$  et $m=5$  .

 Vérifions :  Si $n=15$  et $m=4$  alors $x=n/(m+1)=15/(4+1)=15/5=3$  et $y=mx=4\times 3=12$  d'où $x+y=3+12=15$  .  C'est bon !  De même, si $n=36$  et $m=5$  alors $x=n/(m+1)=36/(5+1)=36/6=6$  et $y=mx=5\times 6=30$  d'où $x+y=6+30=36$  .  C'est bon ! 

Remarque : Définir $x$  comme le nombre de billes de Pierre et $y$  comme celui du nombre de billes de Marie est tout aussi légitime que d'utiliser les variables dans l'autre sens : $x$  est le nombre de billes de Marie et $y$  est celui du nombre de billes de Pierre. Par contre, ce qui est délicat, c'est de bien démarrer pour savoir qui exprimer en fonction de quoi. Si on commence par $y=x/2$  on est tout de suite plus plongé(e) dans des ennuis de fraction que si on démarre avec $x=2y$  même si les deux équations expriment le même rapport entre $x$  et $y$  .

3. Exercices choisis de calculs mathématiques

3.1 Exercices d'entrainement

Calculer $A=5+3(x+7)$  et $B=9-2(x+6)-4(x-3)$  pour $x=2$  puis pour $x=1/3$  .

 solution 

3.2 Quelques problèmes corrigés

Problème 1 :

Quelle est la valeur de $\varphi$  pour que l'image ci-dessous de la pendule soit juste ? Est-ce facile de vérifier que $\sqrt[3]{1728}$  vaut bien $12$   ? Que représente $\displaystyle \binom{\,5\,}{\,2\,}$  pour que cela vaille $10$   ?

non su

 solution 

Problème 2 :

On veut comparer les valeurs des expressions $A=x^2+x+1$  et $B=4x-1$  . Discuter les affirmations ci-dessous :

  1. Les deux expressions $A$  et $B$  sont égales pour $x=1$  et $x=2$  . Donc $A=B$  .

  2. $A$  est un polynome de degré 2 alors que $B$  est un polynome de degré 1. Donc $A$  et $B$  ne sont pas égales.

  3. $A$  et $B$  sont différentes pour $x=1/3$  . Donc $A$  et $B$  ne sont pas égales.

  4. Ces expressions sont parfois égales et parfois différentes.

  5. On ne peut pas savoir ci ces expression sont égales ou pas.

Au passage : voyez-vous la faute d'orthographe dans les affirmations ?

 solution 

3.3 Exercices "analyse d'erreurs"

On demande à un(e) enfant de comparer $6,4$  et $6,35$  . Il/Elle répond que $6,4$  est plus petit que $6,35$  parce que $35$  est plus grand que $4$  . Que faut-il en conclure ?

 solution 

Pour le calcul de $\displaystyle A=\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}$  et de $\displaystyle B=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}$  , un(e) apprenant(e) répond respectivement $\displaystyle \frac{1}{10}$  et $\displaystyle \frac{2}{7}$  . Que s'est-il passé ?

 solution 

4. Utilisation de maxima, logiciel de calcul formel

Le logiciel maxima disponible sous Windows sous la forme wmaxima sait réaliser des calculs formels, c'est-à-dire qu'il sait calculer avec des variables comme $x$  sans connaitre la valeur de ces variables.

La page elearning-maxima permet de l'utiliser dans un navigateur.

Voici un exemple de session maxima pour effectuer les calculs précédents de la section 3. Ici, on termine une instruction par un point-virgule. Sous Windows, il faut appuyer sur CTRL-ENTER pour exécuter le code. 


     (%i1) solve(x+x/7=19,x) ;
                                             133
     (%o1)                              [x = ---]
                                              8
     (%i2) solve( x = (x+2/x)/2, x ) ;
     (%o2)                    [x = - sqrt(2), x = sqrt(2)]
     
     (%i3) A(x) := 5 + 3 * (x+7) ;
     (%o3)                        A(x) := 3 (x + 7) + 5
     
     (%i4) A(2) ;
     (%o4)                                 32
     
     (%i5) A(1/3) ;
     (%o5)                                 27
     
     (%i6) B(x) := 9 - 2*(x+6) - 4*(x-3) ;
     (%o6)                B(x) := (- 4 (x - 3)) - 2 (6 + x) + 9
     
     (%i7) B(2) ;
     (%o7)                                 - 3
     
     (%i8) B(1/3) ;
     (%o8)                                  7
     
     (%i9) simplify(A(x)) ; /* NON ! */
     (%o9)                       simplify(3 (7 + x) + 5)
     
     (%i10) expand(A(x)) ;
     (%o10)                             3 x + 26
     
     (%i11) expand(B(x)) ;
     (%o11)                              9 - 6 x
     
     (%i12) solve(x*x -x - 1 = 0,x) ;
                                 sqrt(5) - 1      1 + sqrt(5)
     (%o12)               [x = - -----------, x = -----------]
                                      2                2

 

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