Quelques révisions
Mathématiques CRPE, La Rochelle, 2020
gilles.hunault "at" univ-angers.fr
1. Révisions des règles et des formules de calcul algébrique
1.1 Règles de calcul
Lorsqu'on multiplie ou divise une expression parenthésée par un terme, on peut distribuer le terme à tous les membres de l'expression.
Lorsqu'on multiplie ou divise une expression parenthésée par un signe moins, il faut changer le signe de tous les membres de l'expression.
Le carré d'un terme est simplement ce terme mutliplié par lui-même.
La racine carrée d'un terme est toujours une valeur positive.
Il y a trois identités remarquables basées sur les produits de $a+b$ et de $a-b$ .
Sous formes de formules :
$ c\times(a+b)= (c\times a) + (c\times b)=c\times a + c\times b$ (écriture usuelle) $\displaystyle \frac{(a+b)}{c}= \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ $ -(a+b)= (-a) + (-b) = -a -b $ (écriture usuelle) $\displaystyle \frac{(a+b)}{-1}= \frac{a}{-1} + \frac{b}{-1}= -a -b$ $ x^2=x\times x$ $ r=\sqrt{x}\iff r^2=x$ pour $r\geqslant 0$ $ (a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$ $ (a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-2ab+b^2$ $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 1.2 Règles de simplification
Si deux quantités sont égales, on peut leur additionner ou soustraire un même nombre et on peut les multiplier ou les diviser par un même nombre.
Sous formes de formules, si $x$ et $y$ sont les quantités dont on parle et $c$ le même nombre évoqué :
$ x=y \iff x+c=y+c$ $ x=y \iff x-c=y-c$ $ x=y \iff x\times c=y\times c$ pour $c\ne 0$ . $\displaystyle x=y \iff \frac{x}{c}=\frac{y}{c}$ pour $c\ne 0$ . On en déduit la formule de résolution de l'équation en $x$ du premier degré
$\displaystyle ax+b=0 \implies x=-\frac{b}{a}$
mémorisable par les deux étapes
(E1) $b$ va à droite et change de signe,
(E2) $a$ va en bas mais ne change pas de signe.
2. Révisions sur les fractions
2.1 Définition et écriture des fractions
Diviser le nombre $a$ par le nombre $b$ produit la fraction $\displaystyle \frac{a}{b}$ qu'on peut interpréter comme $a$ parts d'une pizza coupée en $b$ parts.
Tout nombre $a$ peut être considéré comme la fraction $\displaystyle \frac{a}{1}$ .
Si on en a besoin pour simplifier, tout nombre $a$ peut être considéré comme le produit de $a$ par la fraction $\displaystyle \frac{c}{c}$ pour $c\ne 0$ .
Si les nombres $a$ et $b$ ont un signe, il faut appliquer la règle des signes et mettre le signe résultat à l'extérieur de la fraction, comme par exemple :
$\displaystyle \frac{+a}{-b} = - \frac{a}{b}$
2.2 Opérations sur les fractions
L'opération la plus simple est la multiplication des fractions mémorisable avec la règle « on mutliplie en haut par en haut et en bas par en bas », soit, sous forme de formule :
$\displaystyle \frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$
La division des fractions est mémorisable par la règle « diviser la fraction F1 par la fraction F2 revient à mutliplier F1 par l'inverse de F2 », soit, sous forme de formule :
$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{b} }{\displaystyle \frac{c}{d} }=\displaystyle \displaystyle \frac{a}{b}\times\frac{1}{\displaystyle\left( \frac{c}{d}\right) }=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}$
L' addition des fractions est un peu technique sous sa forme automatiquement simplifiée. Le calcul usuel peut se faire, hors simplification, par :
$\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\times d + b\times c}{b\times d}$
Par contre, si on a le même dénominateur, l' addition des fractions se fait avec la règle « on additionne en haut avec en haut et on garde le dénominateur », soit, sous forme de formule :
$\displaystyle \frac{a}{k}+\frac{b}{k}=\frac{a + b}{k}$
La soustraction des fractions se ramène à l'addition des fractions en changeant le signe du produit $b\times c$ :
$\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a\times d - b\times c}{b\times d}$
Attention : après un calcul sur une fraction, il faut toujours se poser la question de la simplification.
La règle de simplication par le facteur commun $c$ dans une fraction est donnée par la formule :
$\displaystyle \frac{c\times a}{c\times b}=\frac{a}{b}$
Encore faut-il trouver la valeur de $c$ ...
3. Exercices d'entrainement
Factorisation et calcul mental :
Comment calculer facilement et presque de tête $21^2$ et $21\times 19$ ?
solution
Tout le monde sait que $2^2=4$ et que $10^2=100$ .
Donc un calcul facile est celui de $20^2=400$ via $20^2=(2\times 10)^2=2^2\times 10^2=4\times 100=400$ .
$21^2$ peut se calculer à l'aide la formule $(a+b)^2$ avec $a=20$ et $b=1$ :
$21^2=(20+1)^2=20^2+2\times 20\times 1+1^2=400+40+1=441$ .
De même, on doit facilement trouver que $19^2=361$ via $(a-b)^2$ .
Le calcul de $21\times 19$ repose sur $(a+b)\times(a-b)$ pour peu que l'on remarque que $21=20+1$ et $19=20-1$ .
Donc $21\times 19=a^2-b^2$ avec $a=20$ et $b=1$ soit $400-1=399$ . Et voilà !
Fractions égyptiennes (1) :
« J'ai invité 4 collègues à manger et du coup j'ai acheté 5 pizzas identiques. Trois de mes collègues sont venus avec leur épouse. Donc au final nous sommes 8 et il y a 5 pizzas. Comment partager facilement et équitablement les pizzas avec un minimum de découpe ?»
Quel est le rapport avec les fractions égyptiennes dont parle le titre de l'exerice ?
solution
Il faut diviser 4 des 5 pizzas en deux et diviser la dernière pizza en 8. Comme cela chaque convive pourra recevoir une demi-pizza et un huitième de pizza.
Puisque chacun(e) reçoit $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$ chacun(e) reçoit autant que les autres et les 8 pizzas sont partagées équitablement.
Comme indiqué dans la page Wiki française les fractions égyptiennes sont des sommes de fractions avec un 1 au numérateur (fractions dites unitaires). Toute fraction peut s'écrire sous forme égyptienne, même si la méthode pour trouver les fractions à sommer n'est pas forcément simple à comprendre.
Fractions égyptiennes (2) :
Combien vaut $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}$ ?
solution
$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{(1\times 5)+(1\times 2)+ 1}{2\times 5}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$ .
Le fait général «$\displaystyle \frac{4}{n}$ peut toujours s'écrire $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ » n'a pas encore été démontré à ce jour (2019) même s'il a été vérifié pour tous les nombres $n$ de 1 à $123456789$ (par programme informatique).
Fractions égyptiennes (3) :
Trouver la décomposition égyptienne (somme de fractions unitaires) de $\displaystyle \frac{7}{12}$ , de $\displaystyle \frac{2}{15}$ , et de $\displaystyle \frac{3}{7}$ selon la méthode exposée dans la page Wiki précédemment citée.
solution
Pour trouver la décomposition de la fraction $\displaystyle \frac{a}{b}$ on ajoute 1 à la division entière de $b$ par $a$ , on nomme $r$ ce nombre et on recommence avec $\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{1}{r}$ .
Pour $\displaystyle \frac{7}{12}$ , $a=7$ et $b=12$ .
Comme $\displaystyle \frac{12}{7}=1,714...$ on prend $r=2$ et on recommence avec $\displaystyle \frac{7}{12} -\frac{1}{r}$ . Heureusement ici on trouve $\displaystyle \frac{1}{12}$ donc c'est gagné : $\displaystyle \frac{7}{12}= \frac{1}{2}+\frac{1}{12}$ .
Vérifions : $\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{12}=\frac{1\times 6 + 1}{2\times 6}=\frac{7}{12}$ C'est bon !
Pour $\displaystyle \frac{2}{15}$ , $a=2$ et $b=15$ .
Comme $\displaystyle \frac{15}{2}=7,5$ on prend $r=8$ et on recommence avec $\displaystyle \frac{2}{15} -\frac{1}{r}$ . Heureusement ici on trouve $\displaystyle \frac{1}{120}$ donc c'est encore gagné : $\displaystyle \frac{2}{15}= \frac{1}{8}+\frac{1}{120}$ .
Vérifions : $\displaystyle \frac{1}{8}+\frac{1}{120}=\frac{1\times 15 + 1}{8\times 15}=\frac{16}{8\times 15}=\frac{8\times 2}{8\times 15}=\frac{2}{15}$ . C'est bon !
Pour $\displaystyle \frac{3}{7}$ , $a=3$ et $b=7$ .
Comme $\displaystyle \frac{7}{3}=2,3333...$ on prend $r=3$ et on recommence avec $\displaystyle \frac{3}{7} -\frac{1}{r}$ . La différence est $\displaystyle \frac{2}{21}$ .
Comme $\displaystyle \frac{21}{2}=10,5$ on prend $r=11$ et on recommence avec $\displaystyle \frac{2}{21} -\frac{1}{r}$ .
C'est fini parce que cette différence vaut $\displaystyle \frac{1}{231}$ . Donc au final $\displaystyle \frac{3}{7}= \frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}$ .
Vérifions : $\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{11}+\frac{1}{231}=\frac{11\times 7 + 3\times 7 + 1}{3\times 7 \times 11}=\frac{99}{3\times 7 \times 11}=\frac{3\times 11 \times 3}{3\times 7 \times 11}=\frac{3}{7} $ . C'est bon !
Résolution et vérification pour les équations du premier degré :
1. Le problème numéro 24 du papyrus de Rhind est le suivant : «un nombre ajouté à son septième donne 19, quel est ce nombre ?».
Traduire cet énoncé en une équation et trouver sa solution.
2. Vérifier que le nombre $\varphi=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est solution de l'équation $(2x-1)^2=5$ .
3. Vérifier que le nombre $\varphi=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ est solution de l'équation $x^2-x-1=0$ .
4. Quel nombre est solution de l'équation $x=\displaystyle \frac{1}{2}\left( x+\frac{2}{x}\right)$ ?
5. Est-il plus simple de résoudre une équation ou de vérifier qu'une valeur correspond à une solution d'une équation ?
solution
1. Si le nombre est $x$ alors l'énoncé se traduit par $\displaystyle x + \frac{x}{7}=19$ .
Après réduction au même dénominateur, on doit résoudre $\displaystyle \frac{8x}{7}=19$ , soit $x=\displaystyle \frac{19\times 7}{8}=\frac{133}{8}$ .
2. Si $\varphi=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ alors $(2\varphi-1)^2=\displaystyle \left(2\times \frac{1+\sqrt{5}}{2} -1\right)^2=(1+\sqrt{5}-1)^2=\sqrt{5}^2=5 $ .
3. Si $x=\varphi=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ alors $x^2=\displaystyle \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{1+2\times \sqrt{5}+5}{4}=\frac{6+2\sqrt{5}}{4}$ .
Donc $\displaystyle x^2-x-1=\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{4} - \frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1=\frac{6+2\sqrt{5}-2-2\sqrt{5}}{4}-1$
Finalement $\displaystyle x^2-x-1=\displaystyle \frac{4}{4} - 1=01$ donc $\varphi$ est bien solution de l'équation indiquée.
Une solution plus courte, parce que moins calculatoire, consiste à appliquer la technique DRO à l'équation $(2x-1)^2=5$ .
En effet $(2x-1)^2=5\iff 4x^2-4x+1=5\iff 4x^2-4x-4=0\iff x^2-x-1=0$ .
Les équations proposées en 2. et en 3. sont donc identiques. $\varphi$ est solution de l'équation fournie en 2., elle est donc solution de l'équation proposée en 3..
4. Si on s'intéresse au membre de droite de l'équation : $\displaystyle \frac{1}{2}\left( x+\frac{2}{x}\right)=\frac{x\times x+2}{2\times x}$ . L'équation à résoudre est donc $\displaystyle x=\frac{x^2+2}{2\times x}$ soit encore $2x^2=x^2+2$ .
Au final, $\displaystyle x^2=2$ donc $x=\sqrt{2}$ .
5. Il est clair qu'il est beaucoup plus simple de vérifier qu'une valeur correspond à une solution d'une équation plutôt que de résoudre une équation. Il ne faut donc jamais se priver de vérifier....
Retour à la page principale de (gH)