\documentclass[a4paper,12pt]{book}

\def\N{\mbox{I\hspace{-0.11em}N}}
\def\R{\mbox{l\hspace{-0.11em}R}}
\def\fdd{\ensuremath{\diamondsuit}}

\begin{document}

\setcounter{page}{3}

\chapter[Ensembles et Fonctions]{Ensembles et Fonctions}

\section{Ensembles}

Les ensembles sont souvent le premier type de structure que l'on manipule
en math\'{e}matiques. Intuitivement, un ensemble est une "collection",
un  "regroupement". Mais seule une d\'{e}finition abstraite que les math\'{e}maticiens
en donnent, via une axiomatisation rigoureuse aboutit \`{a} des paradoxes.
Ainsi, "un ensemble contient des \'{e}l\'{e}ments", "un ensemble ne peut pas
\^{e}tre un \'{e}l\'{e}ment de lui-m\^{e}me", mais qu'est-ce alors que l'ensemble dont les
\'{e}l\'{e}ments sont les ensembles qui ne se contiennent pas eux-m\^{e}mes ? Passer \`{a} ce
niveau de discours th\'{e}orique (ou rh\'{e}torique ?) est loin des calculs \'{e}l\'{e}mentaires que
nous proposons ici.

La notation $x\in E$ indique que $x$ est \'{e}l\'{e}ment de $E$.
Classiquement, les \'{e}l\'{e}ments sont d\'{e}sign\'{e}s par des lettres minuscules
et les ensembles par des majuscules. Pour indiquer que $E$ contient
les \'{e}l\'{e}ments $x$, $t$ et $u$ seulement, on borne la liste $x,t,u$
par des accolades, soit l'\'{e}criture $E=\{\ x,t,u\ \}$. L'ordre n'a aucune
importance et donc le $E$ cit\'{e} est aussi $\{\ x,u,t\ \}$.
En particulier, nous manipulerons beaucoup des ensembles de nombres
comme \N, \R\ et ce peut \^{e}tre une bonne habitude que d'ordonner les \'{e}l\'{e}ments des
ensembles consid\'{e}r\'{e}s.

\textbf{Exercice \thesection}

Un ensemble contient des
\'{e}l\'{e}ments distincts non ordonn\'{e}s. Donc
$\{ x,x \}$ et $\{ x \}$ d\'{e}signent le m\^{e}me ensemble.
De m\^{e}me :  $\{ x,y \} = \{ y,x \}$. Mais combien
y a-t-il d'\'{e}l\'{e}ments dans l'ensemble $\{ x,y \}$ ?

\fdd
\end{document}
