Un peu de raisonnement pour les mathématiques élémentaires
Mathématiques CRPE, La Rochelle, 2020
gilles.hunault "at" univ-angers.fr
1. Les bases du raisonnement
Il y a en gros trois types de raisonnement : le calcul explicite par équivalence jusqu'à une forme connue, ce qui prouve ce qui était affirmé, le calcul par récurrence et l'application de théorèmes (surtout en géométrie). Il y a aussi le raisonnement par l'absurde mais c'est un peu plus technique.
Par exemple, pour montrer que l'expression $A$ définie par $\displaystyle A=\frac{12(x+1)-2(4x+5)}{2x+y}$ est un nombre entier pair pour $x=1/5$ et $y=-5/12$ , il suffit de calculer, développer, réduire et ordonner (on nomme DRO cette technique) jusqu'à arriver à une expression de la forme $A=2\times k$ avec $k$ entier suite à un raisonnement calculatoire qui procède par équivalence via des substitutions comme $x+1=6/5$ pour $x=1/5$ .
Vérifions : Si $x=1/5$ et $y=-5/12$ alors $A=12=2\times 6$ donc $A$ est un nombre entier pair. C'est bon !
Pour démontrer qu'une propriété est vraie par récurrence, il faut réaliser deux sous-démonstrations : trouver un seuil de départ $n_0$ et montrer l'inférence, c'est-à-dire montrer que si on suppose que la propriété est vraie pour à l'ordre $n$ alors on peut en déduire qu'elle est vraie à l'ordre $n+1$ .
Démontrer signifie prouver au lieu de simplement constater ou «croire que l'on voit», surtout pour la géométrie. Par exemple, un triangle dont les cotés ont pour longueur respective 3, 4 et 5 cm est un triangle rectangle par ce que $5^2=25=9+16=3^2+4^2$ et non pas parce que l'on voit un angle droit sur la figure. Ainsi, un triangle dont les cotés ont pour longueur respective 3.002,4.002 et 5.002 cm n'est pas un triangle rectangle alors qu'à cause de la vision humaine, on croit voir un angle droit sur la figure.
Démonstration :
$3.002^2=\ 9.012004$ ; $4.002^2=16.016004$ ; $5.002^2=25.020014$ ;
$3.002^2 + 4.002^2=25.028008$ donc $3.002^2 + 4.002^2 \ne 5.002^2$ .
2. Un peu de pratique du raisonnement mathématique
Voici un exemple de raisonnement par récurrence pour montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_1=1$ et $\displaystyle u_{n+1}=\frac{1}{2}\left( u_n + \frac{2}{u_n} \right)$ vérifie $u_n\geqslant 0$ pour tout $n$ .
Etape initiale
On définit la propriété $P(n)$ par $u_n<2$ . Comme $u_0$ n'est pas définie, essayons de voir si $P(1)$ est vraie. On nous donne $u_1=1$ . Comme $1\geqslant 0$ , $P(1)$ est vraie.
Induction
On suppose que $P(n)$ est vraie. On doit montrer que $P(n+1)$ est vraie.
$P(n)$ est vraie signifie que $u_n\geqslant 0$ . Mais si $u_n\geqslant 0$ , alors $\displaystyle \frac{2}{u_n}\geqslant 0$ . Donc $\displaystyle \frac{1}{2}\left( u_n + \frac{2}{u_n} \right)\geqslant 0$ , ce qui démontre que $P(n+1)$ est vraie.
3. Quelques démonstrations fausses
La plupart des raisonnements faux en calcul algébrique utilisent une simplification via une division par zéro ou un calcul erroné à cause des changements de signe.
Voici une première démonstration fausse, qui aboutit à $2=1$ .
On part de $x=y$ . On multiplie de part et d'autre à gauche par $x$ soit $x^2=xy$ . On soustrait maintenant $y^2$ des deux cotés : $x^2-y^2=xy-y^2$ . On factorise des deux cotés : $(x+y)(x-y)=y(x-y)$ . On simplifie par $x-y$ donc il reste $x+y=y$ . Pour $x=1$ et $y=1$ on a donc $2=1$ .
Pour trouver l'erreur de raisonnement, recommençons les calculs mais cette fois-ci avec dès le départ $x=1$ et $y=1$ . L'égalité de départ est $1=1$ qui est juste. Après multiplication par $x$ on a $1^2=1\times 1$ . Si on soustrait $1^2$ des deux cotés : $1^2-1^2=1\times 1-1^2$ . La factorisation fournit $(1+1)(1-1)=1(1-1)$ soit encore $2\times 0=1\times 0$ . Pour l'instant tout ceci est encore juste. Si par contre on simplifie par $x-y$ on simplifie donc par 0, ce qui est incorrect.
Voici une deuxième démonstration fausse, qui aboutit à $17=13$ .
On se donne $x$ solution de $3x+2=4x-7$ . Puisque $7=5+2$ , on peut réécrire l'équation en $3x+2=4x-(5+2)$ . Après simplification par $+2$ , il reste $3x=4x-5$ d'où $5=x$ . Or, si on remplace $x$ par sa valeur, $3x+2=17$ et $4x-7=13$ .
L'erreur de raisonnement est ici la simplification par $+2$ . Puisque $+2$ est à l'intérieur d'une parenthèse précédée d'un signe moins, il n'est pas licite de simplifier. D'ailleurs, si on avait développé le membre de droite, on aurait trouvé $4x-5-2$ , ce qui montre bien qu'on n'a pas $+2$ et qu'il ne faut donc pas simplifier.
4. Quelques démonstrations à réaliser
Démontrer que si $n$ est un nombre entier strictement positif qui se termine par zéro alors $n$ est un nombre pair.
solution
Puisque $10=2\times 5$ et puisque qu'un entier qui se termine par zéro est un multiple de 10, alors $n=10\times k=2\times(5\times k)$ donc $n$ est un nombre pair.
Démontrer que les points $A=(1,3)$ et $B=(3,7)$ appartiennent à la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y=2x+1$ .
solution
Ici, on n'a pas besoin de graphique. Il suffit de vérifier que les coordonnées $(x,y)$ des points indiqués vérifient l'équation de la droite donnée. Comme $3=2\times 1 + 1$ , le point $A$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ . De la même façon, $7=2\times 3 + 1$ , donc $B$ appartient aussi à la droite $\mathcal{D}$ .
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