Que sont les mathématiques ?
Mathématiques CRPE, La Rochelle, 2020
gilles.hunault "at" univ-angers.fr
Les positions partiales exprimées ici ne sont l'oeuvre que de leur auteur, Gilles HUNAULT.
1. Une science
C'est bien sûr la réponse la plus simple et la plus immédiate, même si certains wiki préfèrent parler
de l'étude de la quantité, la structure, l'espace et le changement ;
là ou d'autres wiki parlent de Wissenschaft, de cienca formal ou de disciplina che studia...
Quoique... Parce que si les mathématiques sont une science, il y a un petit souci à la définir. On s'accorde en général à dire qu'une science se définit par un objet et une méthode, mais quel est l'objet ou quels sont les objets des mathématiques ? Les nombres, les formes, les espaces, les équations, les raisonnements... ?
2. Une représentation du monde
Si c'était le cas, cela se saurait !
Par contre les mathématiques sont un monde en soi, fait uniquement de certitudes et de « vérités démontrables et éternelles ». Il s'agit d'un monde qui ne laisse pas de place au doute, ou alors à un doute calculé, maitrisé, qui ne supporte pas la moindre imprécision. Dans ce monde-là, il n'y a que deux alternatives : soit on est A, soit on est non-A, mais on ne peut pas être les deux à la fois.
C'est aussi un monde froid, mort où ce qui a été est et sera, sans jamais changer. Il n'y pas de personne dans ce monde éthéré et apuré, seulement des objets abstraits, idéalisés, "parfaits".
Ainsi $(x+1)^2$ vaut aujourd'hui $x^2+(2\times x) + 1$ . Demain, et les jours d'après, $(x+1)^2$ vaudra toujours $x^2+(2\times x) + 1$ . Cela peut être rassurant ou au contraire terrifiant, mais une fois appris, cela ne change plus.
3. Une philosophie
Si l'on en croit le wiki français, la philosophie des mathématiques est une philosophie très riche, bien détaillée dans le wiki anglais à la rubrique philosophy of mathematics. En particulier, elle contient le structuralisme, le constructivisme, même si ces notions sont difficiles à cerner et à expliciter.
Heureusement, ce n'est pas au programme !
4. Un moyen de sélection
Il ne faut pas se voiler la face : les mathématiques sont un moyen puissant et rapide de sélection. En quelques tests faciles à corriger, on peut détecter qui a un cerveau rapide ou un cerf-volant (!), mais pour quelle(s) activités intellectuelle(s) ? Qu'est-ce que cela prouve ? Un esprit de déduction ? Une habileté à calculer vite et bien ?
Comme pour les tests de Q.I. qui prétendent évaluer l'intelligence (mais quelle intelligence ?), il est possible de fausser cette sélection avec de l'entrainement parce que les mathématiques jusqu'en terminale sont très calculatoires. Il suffit de comprendre la mécanique de calcul, de l'appliquer pour paraitre fort(e) en mathématiques.
Par exemple la suite "logique" de $3, 6, 9$ est «bien sûr» $12$ de même que $468$ est «bien sûr» la suite logique de $135, 246, 357$ lorsqu'on est habitué(e) aux suites arithmétiques.
5. Une matière pour le CRPE
C'est bien sûr dans ce cadre que nous allons intervenir pour ces cours, ce qui ne nous empêchera pas de discuter des autres aspects parce qu'ils ont des impacts sur la pédagogie... Il est ainsi "évident" que si on ne fait pas la distinction entre nombre et chiffre, il va être difficile de résoudre un problème de calcul numérique...
Dans cet enseignement, avec 18 heures en tout pour les cours et les T.P., il sera difficile d'aller plus loin qu'une introduction approfondie, mais cela aura sans doute au moins le mérite de vous réconcilier avec les mathématiques ou de vous les faire découvrir sous un autre angle.
Nous essaierons donc de privilégier la résolution d'exercices numériques afin de vous aider à préparer le concours, mais nous tenterons, chaque fois que c'est possible, de généraliser, de montrer les difficultés inhérentes aux exercices parce que l'on vous demande aussi, pour le concours, de montrer que vous savez analyser les erreurs des élèves...
Pour le CRPE, vous devez savoir résoudre des exercices et des problèmes, analyser des erreurs, analyser un dossier, connaitre les programmes et la didactique, savoir rédiger... Même si nous allons travailler ensemble sur la discipline mathématique, d'autres disciplines connexes entrent en jeu. Par exemple comprendre un énoncé suppose que l'apprenant sait bien lire. Idem pour le tracé d'une figure géométrique avec des des coordonnées cartésiennes, cela implique une latéralisation fine, une bonne compréhension des nombres...
Vous ne trouverez dans ces pages ni des "recettes" ni des "modèles", mais nous vous fournirons des références pour aller plus loin, comme les ouvrages de la collection Hatier ou de la collection Colin. Dans ces livres, en plus de rappels de cours et d'exercices corrigés, les connaissances et compétences sont explicitées, les notions de champ conceptuel, de contrat didactique, de maieutique scolaire, de modèle behavioriste, socio-constructiviste sont détaillées... ce sera le complément indispensable de ces cours.
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