Soient ($x_1$,$y_1$) et ($x_2$,$y_2$) deux points du plan avec des coordonnées entières. Donner un algorithme qui permet de calculer leur distance euclienne $d$ définie par la valeur $$d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$$On nommera les variables algorithmiques selon le tableau suivant :
Mathématique
Algorithmique
$x_1$
$\mathtt{xpoint1}$
$x_2$
$\mathtt{xpoint2}$
$y_1$
$\mathtt{ypoint1}$
$y_2$
$\mathtt{ypoint2}$
$d$
$\mathtt{deuclid}$
Cliquez et recliquez ici pour avoir des exemples de valeur de $x_1, y_1, x_2$ et $y_2$.
$x_1$ =
$y_1$ =
; $x_2$ =
$y_2$ =
2. Propriétés des longueurs d'un triangle
Soient $a, b, c$ les longueurs des trois cotés d'un triangle, rangées par ordre croissant. Ecrire un algorithme qui indique si le triangle associé est isocèle, rectangle, les deux ou équilatéral. On nommera les variables algorithmiques selon le tableau suivant :
Mathématique
Algorithmique
$a$
$\mathtt{lngA}$
$b$
$\mathtt{lngB}$
$c$
$\mathtt{lngC}$
On mettra dans les variables $\mathtt{iso, rect, isorect, equi}$ le résultat des tests logiques sur les propriétés du triangle.
Cliquez et recliquez ici pour avoir des exemples de valeur de longueurs de triangle.
$a$ =
$b$ =
$c$ =
3. Propriétés d'un quadrilatère
Soient $a, b, c, d$ les longueurs des quatre cotés d'un quadrilatère. Ecrire un algorithme qui indique s'il s'agit d'un rectangle, d'un carré, d'un losange ou d'un quadrilatère quelconque. On nommera les variables algorithmiques selon le tableau suivant :
Mathématique
Algorithmique
$a$
$\mathtt{lngA}$
$b$
$\mathtt{lngB}$
$c$
$\mathtt{lngC}$
$d$
$\mathtt{lngD}$
On mettra dans les variables $\mathtt{carr, rect, losange, quelconque}$ le résultat des tests logiques sur les propriétés du quadrilatère.
Cliquez et recliquez ici pour avoir des exemples de valeur de longueurs de triangle.
$a$ =
$b$ =
$c$ =
$d$ =
4. Propriétés d'un triangle
Soient $P_1=(x_1,y_1)$, $P_2=(x_2,y_2)$ et $P_3=(x_3,y_3)$ trois points du plan. On suppose ici que la distance géométrique utilisée est la distance euclidienne usuelle $d$ définie par $$d^2(P_i,P_j)=(x_i-x_j)^2+(y_i-y_i)^2$$ pour deux points $P_i=(x_i,y_i)$ et $P_j=(x_j,y_j)$, .
Ecrire un algorithme qui indique si le triangle formé par les trois points $P_1,P_2,P_3$ est isocèle, rectangle, les deux ou équilatéral. On nommera les variables algorithmiques selon le tableau suivant :
Mathématique
Algorithmique
$x_1$
$\mathtt{xpoint1}$
$x_2$
$\mathtt{xpoint2}$
$x_3$
$\mathtt{xpoint3}$
$y_1$
$\mathtt{ypoint1}$
$y_2$
$\mathtt{ypoint2}$
$y_3$
$\mathtt{ypoint3}$
$d(x,y)$
$\mathtt{deuclid(x,y)}$
On mettra dans les variables $\mathtt{iso, rect,isorect,equi}$ le résultat des tests logiques sur les propriétés du triangle.
Cliquez et recliquez ici pour avoir des exemples de valeur des coordonnées des trois points.
Ecrire un algorithme qui indique si un point $M=(x,y)$ appartient à un cercle défini par son centre $C=(x_c,y_c)$, et son rayon $r$.
Cliquez et recliquez ici pour avoir des exemples de données à utiliser.
$M$ : $x$ =
$y$ =
; $C$ : $x_c$ =
$y_c$ =
$r$ =
6. Triangles rectangles en coordonnées entières
Donner tous les triangles rectangles du plan définis par ($x_1$,$y_1$), ($x_2$,$y_2$) et ($x_3$,$y_3$) avec des coordonnées entières entre 1 et 50.
Donner ensuite uniquement les triangles rectangles non équivalents par permutation.
7. Normalisation d'un vecteur
Soit $V$ un vecteur de $\mathbb{R}^p$. Calculer sa norme euclidienne puis donner le vecteur normalisé issu de $V$.
Cliquez et recliquez ici pour avoir des exemples de $p$ et de vecteur $V$ associé.
$p$ =
; $V$ =
8. Calcul d'une matrice de distances
On se donne $n$ points $P_k=(x_k,y_k)$ du plan. Donner un algorithme qui calcule la matrice $M$ des distances entre ces points. En d'autres termes, $M_{i,j}=d(P_i,P_j)$.
Généraliser ensuite à des points dans $\mathbb{R}^p$.
9. Eléments remarquables d'une matrice de valeurs numériques
On dispose d'une matrice carrée $M_{i,j}$ de valeurs numériques de taille $n$. Ecrire un algorithme qui teste si la matrice est symétrique puis qui indique si sa diagonale est nulle ou non.
10. Linéarisation d'une matrice symétrique ou non
On dispose d'une matrice $M_{i,j}$ de valeurs numériques de taille $(n,p)$. Ecrire un algorithme qui linéarise la matrice, c'est-à-dire qui en fait un vecteur $V$ de longueur $n\times p$. Ecrire ensuite la procédure inverse, c'est-à-dire celle qui reconstruit $M$ à partir de $V$.
Reprendre ensuite en supposant que la matrice est symétrique.
11. Propriétés métriques d'une matrice symétrique de valeurs numériques
Ecrire un algorithme qui indique si une matrice symétrique $M_{i,j}$ peut être considérée comme une matrice de distances.
Comment tester si la distance induite est ultra-métrique ?
12. CAH sur une matrice de distances
On se donne une matrice symétrique $M_{i,j}$ de distances. Fournir un algorithme qui construit la C.A.H. (classification ascendante hiérarchique) associée, définie par le critère d'agrégation $min$ et la formule de recalcul $\textit{distance moyenne pondérée}$.
Remarque :
Le rendu des formules mathématiques est assuré par MathJax ; des exemples d'utilisation sont ici et là .
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(gH)