Algorithmes pour l'Analyse Numérique
Table des matières cliquable
2. Sommes des entiers et de leurs puissances
5. Affichage de polynomes, de leur dérivée et de leur primitive
8. Valeur propres d'une matrice symétrique
10. Calcul de Pi
1. Nombre de diagonales
Combien de diagonales $d$ y a-t-il dans un polygone convexe régulier de $n$ cotés où $n>0$ ?
On nommera $\mathtt{nbCotes}$ et $\mathtt{nbDiag}$ les variables algorithmiques associées.
Cliquez et recliquez ici pour avoir des exemples de valeur de $n$ et $d$.
$n$ = $d$ =2. Sommes des entiers et de leurs puissances
On se propose d'écrire ici pluieurs algorithmes qui calculent la somme $s$ des $n$ premiers entiers puis de généraliser à la somme $S_{n,p}$ de la puissance $p$-ième des $n$ premiers entiers.
2.1 Implémenter le calcul de $s$ à l'aide d'une boucle pour. On nommera $\mathtt{nbVal}$ et $\mathtt{somme}$ les variables algorithmiques associées.
2.2 Trouver la formule polynomiale en $n$ qui donne le calcul de $s$. Ecrire l'algorithme associé.
2.3 Inventer une fonction récursive pour calculer $s$ puis écrire l'algorithme qui définit cette fonction et réalise son appel.
2.4 Laquelle ou lesquelles de ces solutions se généralisent le plus facilement pour calculer $S_{n,p}$ ?
2.5 Laquelle est la plus efficace, en termes de rapidité, d'encombrement mémoire ?
Voici les premières valeurs de $S_{n,p}$ à titre d'exemple :
p = 1 : np = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ; s = 55 p = 2 : np = 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ; s = 385 p = 3 : np = 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 ; s = 3025 p = 4 : np = 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 ; s = 25333 p = 5 : np = 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049 100000 ; s = 220825 p = 6 : np = 1 64 729 4096 15625 46656 117649 262144 531441 1000000 ; s = 1978405 p = 7 : np = 1 128 2187 16384 78125 279936 823543 2097152 4782969 10000000 ; s = 18080425 p = 8 : np = 1 256 6561 65536 390625 1679616 5764801 16777216 43046721 100000000 ; s = 167731333 p = 9 : np = 1 512 19683 262144 1953125 10077696 40353607 134217728 387420489 1000000000 ; s = 1574304985 p = 10 : np = 1 1024 59049 1048576 9765625 60466176 282475249 1073741824 3486784401 10000000000 ; s = 149143419253. Interpolation de Lagrange
L'interpolation polynomiale de $n$ points $(x_i,y_i)$, pour $i$ de 1 à $n$ consiste à trouver un polynome de degré minimal qui passe par ces points. La méthode de $\textbf{Lagrange}$ consiste à chercher le polynome solution $P$ -- ou plutot la fonction poynomiale définie en $x$ par $P(x)$ sous la forme
$P(x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n\ y_i\times L_i(x)$
où $L_i(x)$ vaut 1 pour $x=x_i$ et 0 pour $x=x_j$ avec $j\neq i$.
Si on prend par exemple les points $(3,28)$, $(4,40)$ et $(5,54)$, $L_1(x)$ peut être construit par
$L_1(x)=\displaystyle \frac{(x-4)}{(3-4)}\times\frac{(x-5)}{(3-5)}$
L'expression mathématique globale pour $P(x)$ est donc
$P(x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n\ y_i\ \times\ \left(\ \displaystyle\prod_{j=1,n;j\neq i}^n \frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}\ \right)$
On suppose donnés $n$ et les $n$ points $(x_i,y_i)$, pour $i$ de 1 à $n$. Ecrire un algorithme qui affiche les valeurs du polynome de Lagrange de ces $n$ points pour $x$ de $a$ à $b$ en progression arithmétique de pas $h$. On nommera les variables algorithmiques selon le tableau suivant :
Mathématique Algorithmique $n$ $\mathtt{nbPoints}$ $x_i$ $\mathtt{xpoint[i]}$ $y_i$ $\mathtt{ypoint[i]}$ $a$ $\mathtt{valA}$ $b$ $\mathtt{valB}$ $h$ $\mathtt{pasH}$ Cliquez et recliquez ici pour avoir des exemples de tels calculs.
$n$ = $x_i$ = $y_i$ = $a$ = $b$ = $h$ =4. Intégrale de Riemann
5. Affichage de polynomes, de leur dérivée et de leur primitive
6. Polynomes de Bernstein
7. Résolution de f(x)=0
8. Valeur propres d'une matrice symétrique
9. Matrices de Heisenberg
10. Calcul de Pi
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