La théorie des fractales et ses applications
|
|
|
Résumés des exposés du deuxième Séminaire (12 juin 2009)
retour à la page des exposés
Géométrie fractale, dynamique statistique et conjecture de Riemann
par Alain LE MEHAUTE
Directeur de l'ISMANS (Institut supérieur des matériaux du Mans).
Groupe ISMANS, 44, Avenue Bartoldi 72 000 le MANS
On rappellera brièvement les fondements du lien entre la géométrie fractale et les dynamiques fractionnaires. On montrera que de nombreux résultats expérimentaux en électrodynamique, en mécanique et en thermodynamique peuvent trouver leurs fondements dans les métriques non entières. L'aspect thermodynamique est aujourd'hui à notre sens à la fois empiriquement et théoriquement le plus intéressant. Il introduit en effet de radicales modifications dans l'analyse statistique sous jacente à la mécanique des fluides parfaits. La question critique est celle ouverte de la notion d'équilibre. C'est en utilisant la fonction Zeta de Riemann qu'il sera montré que la notion d'équilibre est couplée à la dynamique fractionnaire ce qui met en évidence la complexité d'une notion usuellement considérée comme simple. Des liens avec la topologie seront établis.
Membranes, colmatage et fractales : approche multiéchelle
par M. PONTIE, P. JAOUEN, A. MASSE, A. THEKKEDATH
Laboratoire de GEnie des Procédés de l'Environnement et de l'Agroalimentaire,
GEPEA, UMR-CNRS 6144,
UFR Sciences, Université d'Angers.
Cette communication concerne la problématique du colmatage des membranes synthétiques organiques employées pour la préparation d'eau destinée à la consommation humaine. L'usine d'Angers-Loire-Métropôle au Pont-de-Cé est un bon exemple de l'application des membranes à très grande échelle (90 millions de litres produits chaque jour pour alimenter en eau de boisson l'agglomération d'Angers). Toutefois lors de la conduite des opérations de filtration à membranes la durée de vie des membranes est fortement dépendante des problèmes d'encrassement qu'elles subissent. Si cet aspect du procédé n'est pas mieux maîtrisé, le cycle de vie des membranes peut être très fortement réduit et le coût du procédé très fortement augmenté. Des améliorations dans la conduite de l'opération de filtration doivent être mises en oeuvre, particulièrement afin de limiter le colmatage en profondeur des membranes. Une approche originale dans ce domaine consiste en l'utilisation d'argiles dans la boucle de filtration dans le but de tenter de destructurer la couche colmatante et prévenir le colmatage en profondeur, tout en permettant une conduite facilitée et durable du procédé. L'analyse fractale du gâteau de filtration a permis d'attribuer l'amélioration des performances de la filtration en présence d'argiles à leur rôle d'aération du dépôt colmatant par sa désorganisation à l'origine d'une minimisation des pertes de productivité des membranes et à une augmentation de leur durée de vie.
Objective quantification of fibrosis architecture by fractal dimension in chronic liver diseases
par J. CHAIGNEAU, G. HUNAULT, I. VALO, S. MICHALAK, D. CHAPPARD, A. KONATE,
F. OBERTI, M. C. ROUSSELET, P. CALES
Laboratoire HIFIH, UPRES 3859, IFR 132 / Laboratoire d'Anatomie-Pathologique, CHU
EMI INSERM 0335-LHEA / Service d'Hépato-Gastroentérologie, CHU
Faculté de Médecine, Université d'Angers
Background/Aims - We evaluated the feasibility and characteristics of fractal dimension (FD) of liver fibrosis in different populations with various causes of chronic liver disease.
Study 1: alcoholic vs viral chronic liver disease
Methods - Fibrosis was evaluated by the Metavir staging (F), the area of fibrosis (AOF) and Kolmogorov's FD in 96 liver needle specimens from alcoholic or viral chronic liver diseases.
Results - The intraobserver agreement of FD was excellent after a learning curve. FD was well correlated with F, AOF and most blood fibrosis markers. FD was the main independent predictor of F and AOF. A panel of blood fibrosis markers was independently predicted by F and AOF but not by FD. FD independently predicted serum albumin while AOF independently predicted esophageal varices. FD, but not AOF, increased linearily as a function of F staging. AOF and FD were significantly higher in alcoholic patients than in patients with viral hepatitis. The yearly median progression rates (F: 0.10, AOF: 0.82%, FD: 0.058) were not significantly related to the cause of liver disease. FD was a more sensitive measurement of pharmacological changes in liver fibrosis than F staging.
Conclusion - FD is a reproducible and accurate method requiring expertise in image analysis. This is the only method providing an objective evaluation of the architecture of liver fibrosis.
Study 2: viral chronic liver disease
Methods: 266 patients with chronic hepatitis C were included. FD and AOF were measured with a new algorithm.
Results - Fibrosis FD was well correlated with Metavir fibrosis stages (rs=0.542, p<10-3) and AOF (rs=0.925, p<10-3).
Conclusion - Fractal dimension could be a unique descriptor of liver fibrosis in chronic hepatitis C. Study 3: non alcoholic fatty liver disease
Methods: We developed a new algorithm to measure the fractal dimension (FD) and the area of fibrosis (AOF) together with the same characteristics for liver steatosis. 226 patients were included (12 controls, 214 NAFLD).
Results - The fibrosis FD was highly correlated with AOF and related to fibrosis stage. The fibrosis FD was always significantly lower (p<10-3) than steatosis FD in fibrosis stages F0 to F3, which suggests that steatosis architecture filled the space more than did fibrosis, except in cirrhosis.
Conclusion - Fractal dimension could be a unique descriptor of liver fibrosis in NAFLD.
All studies All these results clearly show that fractal dimension of liver fibrosis is well correlated with the fibrosis stage and the area of fibrosis in various causes of chronic liver disease. So, fractal dimension could be a unique descriptor of liver fibrosis whatever the cause.Relationship of steatosis amount and architecture with other liver lesions
and metabolic syndrome in NAFLD
par J. BOURSIER, J. CHAIGNEAU, V. ROULLIER, F. LAINE, P. H. DUCLUZEAUX, J. SANDRINI,
S. MICHALAK, I. HUBERT, N. DIB, F. OBERTI, S. BERTRAIS, G. HUNAULT, Y. DEUGNIER,
M. C. ROUSSELET, C. CAVARO-MENARD, Y. GALLOIS, C. AUBE, P. CALES,
Service d'Hépato-Gastroentérologie, CHU / Laboratoire HIFIH, UPRES 3859, IFR 132 /
Laboratoire d'Ingénierie des Systèmes Automatisés, UPRES EA 4094 / CIC Inserm 0203, Hôpital Pontchaillou,
CHU Rennes / Service des Maladies du Foie, Hôpital Pontchaillou, CHU Rennes /
Service d'Endocrinologie-Diabétologie-Nutrition, CHU, Angers, France
Département de Pathologie Cellulaire et Tissulaire, CHU Angers /
Laboratoire de Biochimie et Biologie Moléculaire, CHU Angers
Aims. We implemented an accurate quantitative histological measurement of liver steatosis amount and architecture to precisely evaluate the role of steatosis in non alcoholic fatty liver disease (NAFLD) interest.
Methods: We developed an algorithm, based on fuzzy generalized clustering followed by an expert system, to measure the fractal dimension and the area of steatosis (AOS) on liver section images. 226 patients were included (12 controls, 214 NAFLD).
Results: At least 72% of the steatosis images were considered "good" or "very good" by 3 independent pathologists. Intra- and inter-operator reproducibility for AOS measurement was perfect (intraclass correlation coefficient=1.00), whereas specimen length reproducibility was acceptable by 15 mm (CV=8.5%). AOS was closely related to Kleiner steatosis grades in 204 patients with NAFLD (p for linear trend <10-4). AOS increased from fibrosis stage F0 to F2, then decreased in stages F3 and F4 (cirrhosis) (p for quadratic trend <10-4). Fibrosis then non-alcoholic steatohepatitis (NASH) occurred by an average AOS≈4% and ≈8%, respectively. AOS and area of fibrosis (AOF) increased in parallel until about ≈10% then AOS decreased to become null when AOF reached 32% in advanced cirrhosis. Steatosis fractal dimension increased linearly with Kleiner steatosis grade (p for linear trend <10-4) or AOS (rs=0.964); fractal dimension measurement was far less dependent on specimen length than AOS, CV: 1.9% vs 15.0%, respectively. Among morphometric variables, steatosis fractal dimension had the highest independent prediction for glycemia as metabolic syndrome marker and was highly predictive of NASH (AUROC=0.936). A NASH score including steatosis and fibrosis FD and AOS increased AUROC to 0.953. The proportion of patients with 95% predictive values for NASH was 75.5% by NASH score vs 63.7% by FD (p<10-4) or 44.6% by AOS (p<10-4). Steatosis became significant by relative (in non fibrotic liver) AOS≈4%; Average fasting glycemia (≈92 mg/dl) or triglycerides and body mass index (BMI) plateaued before AOS≈4%.
Conclusions. Liver steatosis can be objectively, precisely and reproducibly measured via the AOS and even fractal dimension which are highly predictive of NASH through a nearly completely automated process. The average threshold of steatosis amount is 4% - defining a significant steatosis - for the development of fibrosis or metabolic syndrome components and 8% for NASH. AOS is clinically significant by 3% and more relevant than classical steatosis grading. Fractal dimension could be a unique descriptor of liver steatosis.Scans génomiques dans les réseaux hydrographiques : l'influence de la dimension fractale
par Y. FOURCADE, J. SECONDI, A. CHAPUT-BARDY, C. FLEURANT, C. LEMAIRE
LEESA, UMR 7179, UP Paysage, UMR 077
INRA / AgroCampus Ouest / Université d'Angers
La détection de locus sous sélection dans un environnement hétérogène (locus outliers) se base sur des modèles classiques de génétiques des populations tels que le modèle en île ou encore les modèles en pas japonais. Depuis le premier test de neutralité de Lewontin et Krakauer en 1973 jusqu'aux toutes récentes méthodes bayésiennes, la robustesse de ces approches semble assurée pour l'ensemble des modèles spatiaux testés. Notre étude révèle que la géométrie particulière des réseaux hydrographiques, et notamment leur structure fractale, induit une déviation à ces modèles qui se traduit par un nombre élevé de faux-positifs aux tests de détection d'outliers. Ceci s'explique par une distribution des FST qui ne suit pas la distribution de khi-deux attendue pour des locus neutres dans des modèles classiques. La structure en réseau implique ainsi des corrélations entre dèmes dont on sait qu'elles sont susceptibles d'influencer la variance des FST. De plus, les paramètres de la distribution observée des FST sont corrélés aux paramètres définissant la géométrie des réseaux, tout comme la variance des FST, les corrélations entre dèmes ainsi que le taux d'outliers détectés. Le paramètre déterminant le nombre de répétitions du motif élémentaire du réseau semble le plus influencer les paramètres génétiques observés. Ce type de structure spatiale impliquant d'échantillonner l'ensemble de la structure pour avoir accès à toute l'information implique un effet du nombre d'échantillons sur les différents paramètres liés aux FST (variance, distribution, outliers). Ces biais dans la détection de locus sélectionnés peuvent remettre en cause de nombreuses études portant sur des organismes de rivières, notamment concernant des programmes de conservation d'espèces de poissons.
L'analyse fractale, un outil opérationnel pour la délimitation géographique des appellations d'origine
par A. JACQUET, J. DUCHESNE
INAO (Institut National de l'Origine et de la Qualité) / INHP Agrocampus Ouest Centre d'Angers
La théorie des fractales, apparue dans les années 1970 grâce au travail pionnier de Mandelbrot, a vite connu des applications importantes dans de nombreuses disciplines, notamment en sciences de la terre et en économie. Son utilisation dans les domaines liés à l'agronomie et au milieu naturel est paradoxalement restée modeste, alors que ses possibilités sont probablement considérables. L'intérêt de cet exposé est de donner deux exemples concrets d'application. Le premier montre comment l'analyse fractale a été appliquée à la définition de l'aire géographique de production des eaux-de-vie de cidre et poiré du Maine et à l'aire A.O.C. Pommeau du Maine. Le second montre comment la dimension fractale peut être utilisée, parmi d'autres outils théoriques, à la caractérisation des paysages viticoles.
Compte tenu de la localisation restreinte des usages de production et de l'hétérogénéité de l'aire géographique initiale, la méthode utilisée dans le premier exemple procède en deux temps : i) définition d'une zone d'étude homogène favorable à la cidriculture de qualité ; ii) élaboration des critères d'usage. C'est dans ce deuxième temps qu'intervient l'analyse fractale puisqu'elle permet, une fois définie la densité minimale de vergers souhaitable, de caractériser la répartition de ces vergers. Ainsi, même si la densité de vergers haute tige est faible sur une commune donnée, celle-ci est intégrée au périmètre AOC si la dimension fractale des surfaces plantées est proche de 1,3 ou supérieure à cette valeur. Comme l'échelle de la commune est trop étroite pour appliquer cette approche, nous avons déterminé 22 îlots comprenant de 2 à 11 communes, soit de 3000 à 20 000 ha pour une surface totale de 184 000 ha. La dimension fractale par îlot varie de 0,7 à plus de 1,5, ce qui, d'un point de vue purement géométrique, est un éventail très large. Ce critère a donc finalement été intégré à côté d'autres critères dans la proposition de délimitation.
Le second exemple concerne la mise au point par la Confédération Viticole du Val de Loire (CVVL) d'une méthode générale de modélisation des paysages viticoles. La dimension fractale est l'un des outils mathématiques qui permet d'analyser la répartition géographique intrinsèque du vignoble. Comme dans le cas des eaux-de-vie du Maine, les calculs se font à partir de photographies aériennes, mais alors que pour le Maine nous avions procédé manuellement pour l'extraction des données nécessaires au calcul de la dimension fractale, nous avons appliqué ici une méthode plus automatisée qui s'appuie sur le logiciel de S.I.G. ArcGis9©. La méthode se révèle très efficace pour montrer et quantifier la grande diversité des paysages dans les trois vignobles du Val de Loire étudiés : les Coteaux du Layon, le Saumurois et le Pays nantais.
Pour toute modification de cette page, même mineure contacter gilles.hunault@univ-angers.fr
retour en haut du document
