La théorie des fractales et ses applications
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Résumés des exposés du premier Séminaire (3 juin 2005)
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Introduction
par Jean DUCHESNE
Directeur de l'UMR MA 105, Paysages et biodiversité, INH
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Analyse fractale de la microarchitecture du tissu osseux
par S. BLOUIN, G. MABILLEAU, Daniel CHAPPARD
Unité INSERM EMI 0335, UFR Médecine
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Analyse fractale pour la distribution du vison d'Europe
par Thierry LODE
Ecologie animale, UMR MA 105, Paysages et biodiversité, UFR Sciences
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Modèles fractals pour le traitement du signal et des images
par François Chapeau-Blondeau
Labo LISA, CNRS FRE 2656, Université d'Angers
62 avenue Notre Dame du Lac, 49000 ANGERS, France.
François Chapeau-Blondeau
chapeau@univ-angers.fr
http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/Dans cet exposé, nous présentons différents modèles théoriques destinés à produire des signaux et images dotés de propriétés fractales contrôlées.
Nous présentons un modèle de signaux aléatoires qui possèdent des propriétés d'autosimilarité statistique [1,2]. Ces signaux statistiquement autosimilaires se caractérisent en particulier par une fonction d'autocorrélation à décroissance en loi de puissance, associée à un spectre fréquentiel en 1/falpha. Ces propriétés, et leur contrôle, sont validés par l'analyse théorique et par la simulation numérique.
Nous présentons également un modèle de structures fractales générées par les attracteurs de systèmes de transformations itérées [3,4]. De tels modèles fractals sont aisément implémentables sur ordinateur et se prêtent en principe, à des extensions en dimension quelconque. Nous montrons comment contrôler des propriétés importantes, comme leur dimension fractale ou leurs moments géométriques, ou bien comment imposer ou non la continuité au sens mathématique de ces structures fractales.
Ces modèles peuvent être exploités pour de nombreuses applications, comme par exemple la simulation du trafic sur les réseaux informatiques (connu pour être fractal), ou la compression des images, ou l'aide à la caractérisation de structures fractales naturelles.
[1] F. Chapeau-Blondeau; "(max, +) dynamic systems for modeling traffic with long-range depen- dence;" Fractals, vol. 6, pp. 305-311, 1998.
[2] F. Chapeau-Blondeau, A. Monir; "Generation of signals with long-range correlations"; Electronics Letters, vol. 37, pp. 599-600, 2001.
[3] C. Portefaix, C. Cavaro-Ménard, F. Chapeau-Blondeau; "Identification and modeling of fractal sig- nals with iterated function systems"; vol. 1, pp. 185-188, Proceedings 11th European Signal Processing Conference, Toulouse, France, 3-6 Sept. 2002.
[4] C. Portefaix, C. Cavaro-Ménard, F. Chapeau-Blondeau; "Modelling of fractal images with iterated function systems: moment matching, continuity of attractors"; pp. 113-116, Proceedings 3rd International Symposium on Physics in Signal and Image Processing, Grenoble, France, 29-31 Jan. 2003.
Analyse fractale pour la mesure de la fibrose du foie chez l'animal et chez l'homme
par Paul CALES
Labo HIFIH, UPRES EA 3859, IFR 132, UFR Médecine, UDA et CHU
Etude de l'architecture de la fibrose hépatique par analyse fractale
Labo HIFIH, UPRES 3859, IFR 132, UFR Médecine, UDA et CHU1) Travail chez le rat
Référence :Moal F, Chappard D, Wang J, Vuillemin E, Michalak-Provost S, Rousselet MC, et al.
Fractal dimension can distinguish models and pharmacologic changes in liver fibrosis in rats. Hepatology 2002;36:840-849.
La dimension fractale permet de distinguer des modèles et les variations pharmacologiques de fibrose hépatique.
But.
L'analyse fractale permet de mesurer la complexité d'une organisation géométrique. Nous avons montré récemment que la dimension fractale permettait de mesurer la complexité de la fibrose hépatique. Le but de cette étude était de comparer cette méthode à d'autres mesures de fibrose hépatique.
Méthodes.
Nous avons étudié 57 rats dont 10 sham, 26 avec fibrose biliaire (CBS) et 21 avec fibrose due au CCl4. Les rats avec fibrose ont été traités par placebo ou octréotide. Les mesures ont comporté la dimension fractale de Kolmogorov (Dk), l'aire de fibrose mesurée par analyse d'images, l'hydroxyproline hépatique, le hyaluronate sérique et la pression porte.
Résultats.
Chez les rats la Dk était corrélée, après ajustement sur le modèle de fibrose, avec : l'aire de fibrose (r = 0,88 ; p<0,001), l'hydroxyproline (r = 0,51 ; p<0,01), le hyaluronate (r = 0,52 ; p<0,001) et la pression porte (r = 0,52 ; p<0,01). La Dk était significativement différente entre chacun des 3 groupes de rats : sham : 0,868 +/- 0,175, CBS : 1,058 +/- 0,152, CCl4 : 1,320 +/- 0,102 (p<0,0001). En particulier la Dk était très différente entre les modèles de fibrose à la différence de l'aire de fibrose (NS). Les effets de l'octréotide sur la fibrose étaient significatifs dans le modèle CCl4 et reflétés de façon similaire par l'aire de fibrose ou la Dk. La Dk était expliquée en régression multiple par l'hydroxyproline au 1e pas (r2 = 0,59) et l'aire de fibrose au 2e pas (r2 =0,64). Le modèle de fibrose (CBS ou CCl4) était discriminé à 97% par les 5 variables étudiées (Dk : p<0,001 et pression porte : p<0,05) et par la Dk au 1er pas à 94%.
Conclusions.
L'analyse fractale reflète bien la complexité géométrique de la fibrose hépatique et permet une discrimination des modèles de fibrose à la différence des autres mesures quantitatives de fibrose. Elle est également apte à détecter des variations pharmacologiques.
2) Travail chez l'homme.
Etude de l'architecture de la fibrose hépatique humaine par analyse fractale
Isabelle Valo, Sophie Michalak, Daniel Chappard, Jean-Paul Saint-André, Paul Calès. Angers, France.
Il a été montré dans un modèle animal que la dimension fractale (DF) était une mesure apportant de nouvelles informations pour la connaissance de la fibrose hépatique. Notre but était d'étudier la DF de fibroses de degré et de cause (alcool et virus) variables chez l'homme.
Méthodes.
96 biopsies de foie issues de 74 patients ayant une hépatopathie induite par l'alcool (n=49) ou par le virus de l'hépatite C (n=47) ont été sélectionnées. La fibrose a été évaluée par le score semi-quantitatif de Metavir. L'analyse d'image a permis 3 mesures à 6 mois d'intervalle de l'aire de fibrose (ADF) et de la DF par la méthode dite des "boites" de Kolmogorov par le même observateur.
Résultats.
Les 3 séries de mesures de l'ADF (p=0,35) et de la DF (p=0,63) n'étaient pas significativement différentes. Le coefficient de corrélation intraclasse était de 0,89 (p<10-4) pour l'ADF et de 0,75 (p<10-4) pour la DF. La DF était corrélée à l'ADF (rp=0,89, p<10-4) et au score Metavir (rp=0,68, p<10-4). L'ADF et la DF augmentaient en fonction du score Metavir (ANOVA, p<10-4) mais cette augmentation n'était significative pour l'ADF que pour F4 (p<10-4 versus les autres stades F) alors que pour la DF la différence était significative pour F4 vs les autres stades (p<10-4), F3 vs F0 (p=0,01), F1 (p=0,04) et F4 (p<10-4), F2 vs F0 (p=0,03) et F4 (p<10-4) (Bonferroni). L'ADF et la DF étaient significativement plus élevées dans les hépatopathies alcooliques mais la cause n'était discriminée de façon indépendante que par l'ADF. Par contre, la DF prédisait au 1er pas le score Metavir suivie de la cause. Les corrélations a vec la durée de l'hépatopathie étaient : ADF : rp=0,395 (p=0,004), DF : rp=0,33 (p=0,02), Métavir F : rp=0,26 (p=0,055). En analyse en régression linéaire générale avec pour variable dépendante un panel de 5 marqueurs sériques comme référence de la fibrose hépatique indépendante de l'examen histopathologique, le score F avait la valeur la plus informative (p=0,006) suivi de l'ADF moyenne (p=0,03) alors que la DF n'avait pas de valeur significative indépendante (p=0,92). Par contre la DF prédisait le taux d'albumine sérique (R2a=0,436, p<10-4), les autres variables n'ayant pas de rôle significatif indépendant : ADF (p=0,17), F (p=0,95). En analyse multivariée, la présence de varices eosophagiennes était prédite avec une performance diagnostique de 78,6% uniquement par l'ADF (p<10-4) sans rôle significatif pour F (p=0,13) ou DF (p=0,52). En conclusion, la fibrose hépatique entraîne une altération précoce de l'architecture du foie avant que la quantité de fibrose n'augmente significativement. L'insuffisance hépato-cellulaire semble plus liée à la distorsion de l'architecture par la fibrose tandis que l'HTP est davantage liée à la quantité de fibrose. La dimension fractale est donc un nouvel outil d'évaluation du retentissement de la fibrose hépatique.
Paul.Cales@univ-angers.fr
Organisations fractales de dépôts colmatants
par Maxime PONTIE
Chimie Environnement, UMR MA 105 Paysages et biodiversité, UFR Sciences
Les filières de production d'eau destinée à la consommation humaine se modernisent chaque jour davantage afin de suivre les règlementations édictées par l'union européenne en ce qui concerne l'élimination de polluants susceptibles d'altérer la santé humaine. A côté des principaux contaminants chimiques de l'environnement (HAP, PCB, produits phytosanitaires., métaux lourds, dioxines) qui donnent lieu à des suivis réguliers depuis de nombreuses années, des substances nouvelles telles que des stéroïdes synthétiques (ex. : oestradiol, testostérone) utilisés dans de nombreux traitements hormonaux, des anti-dépresseurs (diazepam, amitriptyine), des analgésiques (ibuprofène, acetaminophène, acide acétyl-salicylique) ou des antibiotiques (néomycine, chloramphénicol, tétracyclines) sont aujourd'hui de plus en plus surveillés. Les procédés à membranes présentent aujourd'hui l'avancée technologique la plus importante et la seule barrière absolue face à ces nouveaux polluants antropiques. En Maine-et-Loire, l'ouverture récente de l'usine des Ponts-de-Cé mettant en oeuvre le procédé cristal en est une parfaite illustration.
Toutefois, en pratique les performances de ces procédés de filtration sont limitées par des problèmes de colmatage (bouchage de pores, accumulation de matières organiques, développement de biofilm, etc). Notre présentation a tenté de montrer l'intérêt d'une approche fractale afin de rendre compte de l'organisation de ces matières colmatantes à l'échelle microscopique. Pour une solution d'acides humiques il est apparu une dimension fractale de 2,45, valeur très proche du modèle d'intéraction de type particule-amas pour lequel la dimension fractale est théoriquement de 2,51. Par ailleurs la détermination d'indices de colmatages susceptibles de rendre compte du caractère colmatant d'une eau donnée pour une membrane donnée et qui constitue une approche macroscopique du problème est menée en parallèle.
Ces deux approches microscopique et macroscopique sont développées de front, pour un développement durable des opérations de filtration à membranes.
Morphométrie des arbres par géométrie fractale et physique statistique
par Jean DUCHESNE, P. RAIMBAULT and C. FLEURANT
UMR MA 105, Paysages et biodiversité, INH
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Fractales et structure des réseaux hydrographiques
par Cyril Fleurant
UMR MA 105, Paysages et biodiversité, INH
Application de la géométrie fractale dans la modélisation pluie-débit
C. Fleurant1, B. Kartiwa2, J. Duchesne1, B. Roland1
1 : Institut National d'Horticulture, UMR Paysage et Biodiversité, Angers
2 : Center for soi land Agroclimate Research, Bogor, IndonesiaLa modélisation pluie-débit sur un bassin versant peut être décomposée en deux processus : la fonction de production et la fonction de transfert. La fonction de production détermine la proportion de la pluie qui participe effectivement au ruissellement. La fonction de transfert distribue cette pluie nette de façon spatiale et temporelle sur le bassin versant. La fonction de transfert peut être modélisée par une approche de type hydrogramme unitaire instantané géomorphologique (GIUH). Ces modèles géomorphologiques montrent toute leur efficacité dans le cas de bassin versant où l'on manque cruellement de données hydrologiques, comme sur les bassins non jaugés. Ces modèles permettent de prédire la forme de l'hydrogramme et l'évolution du débit en fonction du temps à l'exutoire du bassin. Le modèle est fondé sur des hypothèses générales de symétrie qui lui confèrent un caractère multi échelle et versatile.
Ces hypothèses de symétrie, couplées aux propriétés homothétiques des réseaux hydrographiques (Duchesne et al., 1997) conduit à la loi de densité de probabilité des longueurs hydrauliques des drains d'ordre k (voir présentation PowerPoint). On peut ainsi en déduire par un produit de convolution généralisé la loi de densité de probabilité des longueurs hydrauliques totales (Fleurant and Boulestreau, 2004) sur tout le bassin versant. Cette loi est parfaitement équivalente à la fonction de transfert, nécessaire pour en calculer de façon prédictive, donc sans calage, le débit à l'exutoire du bassin versant.
Multifractalité de l'intensité d'un faisceau laser dans un milieu turbulent
par Régis BARILLE
Laboratoire POMA, UFR Sciences
pas de résumé disponible.
Fractales cardio-vasculaires
Jacques-Olivier FORTRAT
Equipe Explorations Fonctionnelles Vasculaires, UFR Médecine
Fractals cardio-vasculaires : simple outils ou véritable révolution ?
J.O. Fortrat, S. Courcinous
UMR CNRS 6188, Faculté de Médecine d'Angers
jofortrat@chu-angers.frLa stabilité de la pression artérielle est impérative pour une perfusion cérébrale satisfaisante à tous les instants. Cette stabilité est assurée par un ensemble de mécanismes de régulation qui se trouvent extrêmement sollicité en position debout alors que le cerveau se situe au dessus du coeur (la pompe générant la pression artérielle). Cette notion de stabilité des variables de l'organisme (ou homéostasie de l'organisme) constitue la théorie fondatrice de la physiologie (théorie homéostasique). Cependant, aucun mécanisme de régulation ne peut corriger instantanément un écart à la normale d'une variable. Ce délai de régulation entraîne donc une variabilité spontanée de la fréquence cardiaque et de la pression artérielle. La complexité des interactions des mécanismes de régulation mis en oeuvre entraîne quant à elle un aspect fractal de cette variabilité. La détermination de critères qualitatif et quantitatif de ces fractals cardio-vasculaires permet d'envisager des outils diagnostiques ou pronostiques pour lesquels des recherches sont en cours. Mais au delà de cette quête de nouveaux outils, ces fractals cardio-vasculaires mettent en lumière les limites de la théorie homéostasique qui n'explique pas certaines propriétés du système cardio-vasculaire. Nous avons émis l'hypothèse que les mécanismes de régulation cardio-vasculaire pourraient constituer un système auto-organisé. Nous vérifions actuellement que des propriétés spécifiques des systèmes auto-organisés sont retrouvées au sein du système cardio-vasculaire.
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