De la formule de  $Sylvester$,

$$\left|\ \displaystyle\bigcup_{i=1}^n\ A_i\ \right|=
\displaystyle\sum_{k=1}^n\ (-1)^{k+1}
\displaystyle\sum_{i_1<...<i_k}
\left|\ \displaystyle\bigcap A_{i_k}\ \right|$$


on déduit la formule de $Poincar\acute{e}$ :

$$p\left(\ \displaystyle\bigcup_{i=1}^n\ A_i\ \right)=
\displaystyle\sum_{k=1}^n\ (-1)^{k+1}
\displaystyle\sum_{i_1<...<i_k}
p\left(\ \displaystyle\bigcap A_{i_k}\ \right)$$